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Si bien las tres formas son correctas, vamos a ver cuándo corresponde cada una:
• Asimismo: adverbio equivalente a también. No se tilda y se escribe en una sola palabra.
“Voy a visitar la Patagonia argentina. Asimismo, recorreré el sur de Chile”.
• Así mismo: adverbio así + adverbio mismo que equivale a de esa misma manera. Se escribe en dos palabras y se tilda “así”.
“Pídeselo así mismo”.
• A sí mismo: preposición a + reflexivo sí + adjetivo mismo que equivale a a uno mismo. Se escribe en tres palabras y se tilda “sí”.
“Se prometió a sí mismo no repetir sus errores”.